首先变换一下波形的表达式：

$$\begin{aligned} y=&a \sin(\frac {\pi px} {q}) + b \cos(\frac {\pi px} {q})\\ =&{\sqrt{a + b}}\big [\frac {a} {\sqrt{a + b}} \sin(\frac {\pi px} {q}) + \frac {b} {\sqrt{a + b}}\cos(\frac {\pi px} {q})\big ]\\ =&\sqrt{a+b} \sin(\frac {\pi px} {q} + \theta) \end{aligned}$$

其中 $\theta = \arccos (\frac {a} {\sqrt{a + b}})$，根据题目的数据范围，只有 0, $\frac \pi 4$ 或 $\frac \pi 2$ 三种取值。

$\sin(\frac {\pi px} {q} + \theta)$ 的极值点满足 $\frac {\pi px} {q} + \theta = \frac \pi 2 + k\pi$ ，其中 $k \in \mathbf{Z}$；那么

$$x= \dfrac {t + 4kq} {4p}$$

是极值点，其中 $t=(2-\frac {4\theta} \pi)$ 是整数。

由于 $x$ 的取值是 $[l, r]$ 范围内的整数，所以问题转化为求合适的 $k$ ，使得 $\frac {t + 4kq} {4p}$ 最接近 $[l, r]$ 之间的整数；也就是求 $k$ 在一定范围内时， $(t + 4kq)$ 在模 $4p$ 意义下的最小值和最大值。

此时，问题已经转化成经典的 Min of Mod of Linear，可以用板子解决。

Min of Mod of Linear - Library Checker

Finding minimum residue of a linear function in O(log M) time - Codeforces

参考实现：记录详情 - Hydro

本题是改编题，原题Problem - 1182F - Codeforces，参考题解CF1182F Maximum Sine 题解 - xhgua - 洛谷博客 (luogu.com.cn)。

其中，核心思想就是通过二分+类欧几里得来找到距离三角函数极值点$(k+\frac{1}{2})\pi$最近的分数$n\frac{p}{q}$。

其中这题由于比原题多了$\cos(\frac{p\pi}{q})=\sin(\frac{p\pi}{q}+\frac{\pi}{2})$、$\sin(\frac{p\pi}{q})+\cos(\frac{p\pi}{q})=\sqrt{2}\sin(\frac{p\pi}{q}+\frac{\pi}{4})$这两种情况，所以需要特殊处理一下，主体思想仍然是处理距离极值点最近的点。

时间复杂度$O(T\log^2 n)$，其中$n$为输入数据的范围。似乎有人提交了更加先进的做法，我们会择机上传新做法。